Jak rozwiązać równanie kwadratowe

Rozwiąż równania kwadratowe

• A. Co to jest równanie kwadratowe?
• B. Rozwiązywanie równań kwadratowych
• C. Rozwiąż w myślach równania kwadratowe
• D. Korzystanie z formuły Viet-et
  • Twierdzenie Vieta
  • Twierdzenie odwrotne Viet-etu
• E. Przykład rozwiązania równania kwadratowego
• F. Rozkład na czynniki
• G. Rozwiązywanie równań kwadratowych zawierających parametry

A. Co to jest równanie kwadratowe?

Równanie kwadratowe to równanie w postaci (a≠0) (1).

Ponieważ x jest nieznaną zmienną i istnieje tylko jedna niewiadoma, równanie to nazywa się również równaniem z jedną zmienną. Liczby a, b i c są znane i nazywane są współczynnikami równania; Można je rozróżnić, nazywając je odpowiednio: współczynnikiem kwadratowym, współczynnikiem pierwszego rzędu i współczynnikiem swobodnym lub stałym.

Równanie kwadratowe jest rodzajem równania wielomianowego. Zawiera tylko potęgi x, które są liczbami naturalnymi.

Rozwiązanie równania kwadratowego polega na znalezieniu wartości x tak, aby po podstawieniu x do równania (1) spełnione było równanie ax2+bx+c=0. Istnieją cztery najpopularniejsze sposoby rozwiązywania równań kwadratowych: rozkład na czynniki; metoda pierwiastka kwadratowego; użyj wzoru pierwiastkowego; wykres.

B. Rozwiązywanie równań kwadratowych

Krok 1: Oblicz Δ=b2-4ac

Krok 2: Porównaj Δ z 0

• Δ < 0=""> Równanie (1) nie ma rozwiązania
• Δ = 0 => równanie (1) ma podwójne rozwiązanie
• Δ > 0 => równanie (1) ma 2 różne rozwiązania, korzystamy z następującego wzoru rozwiązania :

I

C. Rozwiąż w myślach równania kwadratowe

• Jeśli równanie ma a + b + c = 0, to równanie ma rozwiązanie.
• Jeśli równanie ma a - b + c = 0, to równanie ma rozwiązanie:

D. Korzystanie z formuły Viet-et

Twierdzenie Vieta

Jeśli jest rozwiązaniem równania, to

Twierdzenie odwrotne Viet-etu

Jeżeli istnieją dwie liczby, to są one rozwiązaniami równania (istnieje gdy)

E. Przykład rozwiązania równania kwadratowego

Przykład 1: Rozwiąż następujące równanie kwadratowe: x2 - 49x - 50 = 0

Przewodnik po rozwiązaniach

Metoda 1: Użyj wzoru pierwiastka (a = 1; b = -49; c = -50)

Ponieważ ∆ > 0, równanie ma dwa różne rozwiązania.

Metoda 2: Obliczenia w pamięci

Ponieważ a – b + c = -1 – (-49) + (-50) = 0

Zatem równanie ma dwa rozwiązania.

Metoda 3:

Zgodnie z twierdzeniem Vieta mamy:

Zatem równanie ma dwa rozwiązania:

Przykład 2: Rozwiąż równanie 4x2 - 2x - 6 = 0 (2)

Δ=(-2)2 - 4,4.(-6) = 4 + 96 = 100 > 0 => podane równanie (2) ma 2 różne rozwiązania.

I

Możesz też szybko obliczyć rozwiązanie, wykonując obliczenia w pamięci, bo widzisz, że 4-(-2)+6=0, więc x1 = -1, x2 = -c/a = -(-6)/4=3/2. Rozwiązanie jest takie samo jak powyżej.

Przykład 3: Rozwiąż równanie 2x2 - 7x + 3 = 0 (3)

Oblicz Δ = (-7)2 - 4.2.3 = 49 - 24= 25 > 0 => (3) ma 2 różne rozwiązania:

I

Sprawdzenie, czy poprawnie obliczyłeś rozwiązanie, jest bardzo proste. Wystarczy podstawić x1, x2 do równania 3, jeśli wynik wynosi 0, to rozwiązanie jest poprawne. Na przykład zamień x1 na 2,32-7,3+3=0.

Przykład 4: Rozwiąż równanie 3x2 + 2x + 5 = 0 (4)

Oblicz Δ = 22 - 4.3.5 = -56 < 0=""> równanie (4) nie ma rozwiązania.

Przykład 5: Rozwiąż równanie x2 – 4x +4 = 0 (5)

Oblicz Δ = (-4)2 - 4.4.1 = 0 => równanie (5) ma podwójne rozwiązanie:

Tak naprawdę, jeśli jesteś bystry, możesz też zauważyć, że jest to łatwa do zapamiętania tożsamość (ab)2 = a2 - 2ab + b2, zatem łatwo jest zapisać (5) jako (x - 2)2 = 0 <=> x=2.

F. Rozkład wielomianów na czynniki

Jeżeli równanie (1) ma dwa różne rozwiązania x1, x2, zawsze można je zapisać w następującej postaci: ax2 + bx + c = a(x-x1)(x-x2) = 0.

Wracając do równania (2), po znalezieniu 2 rozwiązań x1, x2 można je zapisać w postaci: 4(x-3/2)(x+1)=0.

G. Rozwiązywanie równań kwadratowych zawierających parametry

1. Równanie z rozwiązaniem

2. Równanie bez rozwiązania

3. Równanie ma jedno rozwiązanie (podwójne rozwiązanie lub dwa równe rozwiązania)

4. Równanie ma dwa różne rozwiązania.

5. Równanie ma dwa rozwiązania o tym samym znaku.

6. Równanie ma dwa rozwiązania o przeciwnych znakach.

7. Równanie ma dwa dodatnie pierwiastki (dwa pierwiastki większe od 0)

8. Równanie ma dwa pierwiastki ujemne (dwa pierwiastki mniejsze od 0)

9. Równanie ma dwa przeciwne rozwiązania.

10. Dwa rozwiązania odwrotne

Rzeczy, o których należy pamiętać:

Oprócz równania kwadratowego istnieje także twierdzenie Vieta, które ma wiele zastosowań, takich jak mentalne obliczanie pierwiastków równania kwadratowego wspomnianego powyżej, znajdowanie 2 liczb znając sumę i iloczyn, określanie znaków pierwiastków lub rozkład na czynniki. To jest cała niezbędna wiedza, która przyda Ci się w trakcie nauki algebry lub później w ćwiczeniach rozwiązywania i omawiania równań kwadratowych, dlatego powinieneś ją starannie zapamiętać i płynnie ćwiczyć.

Jeśli zamierzasz studiować programowanie , musisz także posiadać podstawową wiedzę matematyczną, a nawet zaawansowaną wiedzę matematyczną, w zależności od projektu, który będziesz realizować.