Wzór na obliczenie przekątnej kwadratu i przekątnej prostokąta

Sposób obliczenia przekątnej kwadratu, sposób obliczenia przekątnej prostokąta – jest często wykorzystywany w zadaniach matematycznych i zastosowaniach praktycznych, takich jak projektowanie i budownictwo, cięcie narożników, pomiary... Quantrimang.com zebrał wiedzę o właściwościach dwóch przekątnych, a także wzory obliczeniowe, zapoznaj się z nimi, aby zastosować je w nauce, życiu i pracy.

Spis treści

• Jaka jest przekątna kwadratu i prostokąta?
• Jak obliczyć przekątną kwadratu
  • Właściwości przekątnej kwadratu
  • Wzór na obliczenie przekątnej kwadratu
  • Przykład obliczenia przekątnej kwadratu 
• Jak obliczyć przekątną prostokąta
  • Właściwości przekątnych prostokąta
  • Wzór na obliczenie przekątnej prostokąta
  • Przykład obliczenia przekątnej prostokąta 
  • Przykład udowadniający, że czworokąt jest prostokątem.

Jaka jest przekątna kwadratu i prostokąta?

Przekątna kwadratu lub prostokąta to linia łącząca dwa przeciwległe rogi. Każdy kwadrat i prostokąt ma dwie przekątne tej samej długości.

Jak obliczyć przekątną kwadratu

Właściwości przekątnej kwadratu

• Dwie przekątne kwadratu mają taką samą długość, są prostopadłe i przecinają się w środku każdej.
• Dany jest okrąg wpisany i okrąg opisany na kwadracie, a środki obu okręgów pokrywają się i pokrywają się z przekątnymi kwadratu.
• Jedna przekątna dzieli kwadrat na dwa trójkąty prostokątne równoramienne.
• Przecięcie się dwusiecznych kąta, środkowych i dwusiecznych prostopadłych pokrywa się w jednym punkcie.
• Ma wszystkie cechy prostokąta, równoległoboku i rombu.

Wzór na obliczenie przekątnej kwadratu

Zgodnie z właściwościami kwadratu, dwie przekątne kwadratu są równe, a jedna przekątna kwadratu dzieli kwadrat na dwie części o równym polu, które są dwoma równoramiennymi trójkątami prostokątnymi. Zatem przekątna kwadratu jest przeciwprostokątną dwóch równoramiennych trójkątów prostokątnych.

Aby obliczyć przekątną kwadratu, wystarczy zastosować twierdzenie Pitagorasa do trójkąta prostokątnego.

Załóżmy, że mamy kwadrat ABCD o boku długości a, przekątna AC dzieli kwadrat na dwa trójkąty prostokątne ABC i ACD.

Zastosowanie twierdzenia Pitagorasa do trójkąta prostokątnego równoramiennego ABC:

⇒ ⇒

Zatem przekątna kwadratu ma długość boku a:

Przykład obliczenia przekątnej kwadratu 

Przykład 1:  Kwadrat ma bok 3 cm. Przekątna tego kwadratu wynosi: 6cm, √18cm, 5cm czy 4cm?

Rozwiązanie:

a) Stosując twierdzenie Pitagorasa do kwadratu ABC, mamy:

AC² = AB² + BC² = 3² + 3² = 18

=> AC = cm

Zatem przekątna kwadratu wynosi √18 cm.

Przykład 2:

Przekątna kwadratu wynosi 2dm. Bok tego kwadratu ma długość: 1 cm, 3/2 cm, √2 cm czy 4/3 cm?

Nagroda:

Zastosuj twierdzenie Pitagorasa do trójkąta prostokątnego ABC, ale to ćwiczenie daje długość przekątnej, tj. AC = 2 cm, oblicz bok AB.

Mamy: AC² = AB² + BC² = 2AB (ponieważ AB = BC)

=> AB² = AC²/2 = 2²/2 = 2

=> AB = √2

Jak obliczyć przekątną prostokąta

Prostokąt jest wypukłym czworokątem posiadającym cztery kąty proste; jest to równoległobok z dwiema równymi przekątnymi.

Właściwości przekątnych prostokąta

Przekątne prostokąta mają kilka ważnych właściwości, które są przydatne przy rozwiązywaniu problemów związanych z prostokątami i ich przekątnymi.

• Długość przekątnej prostokąta jest równa przeciwprostokątnej trójkąta prostokątnego, więc jest równa pierwiastkowi kwadratowemu z sumy kwadratów dwóch boków.
• Przekątna dzieli prostokąt na dwa trójkąty prostokątne o równym polu. Zatem przekątna prostokąta jest osią symetrii prostokąta.
• Dwie przekątne prostokąta są równe i przecinają się w środku każdej linii, tworząc 4 trójkąty równoramienne.

Wzór na obliczenie przekątnej prostokąta

Korzystając z własności przekątnej prostokąta powyżej, możemy zastosować twierdzenie Pitagorasa do obliczenia długości przekątnej prostokąta.

Załóżmy, że mamy prostokąt ABCD o długości a i szerokości b oraz przekątną AC, jak pokazano poniżej.

Stosujemy twierdzenie Pitagorasa do trójkąta prostokątnego ABC:

⇒ ⇒

Zatem przekątna prostokąta o długości a i szerokości b wynosi:

Zatem długość przekątnej prostokąta jest równa pierwiastkowi kwadratowemu sumy kwadratów dwóch boków (długości i szerokości) prostokąta.

W ten sposób możemy obliczyć przekątną kwadratu lub prostokąta, stosując po prostu twierdzenie Pitagorasa.

Przykład obliczenia przekątnej prostokąta 

Oblicz długość przekątnej prostokąta o długości 10 dm i szerokości 5 dm.

Rozwiązanie:

Niech długość przekątnej prostokąta będzie równa a (a > 0, dm)

Stosując twierdzenie Pitagorasa, długość przekątnej prostokąta wynosi:

a2 = 102 + 52 = 125

=> a = 5√5 dm

Przykład udowadniający, że czworokąt jest prostokątem.

Właściwości i wzór na obliczenie przekątnej prostokąta można zastosować do rozwiązania niektórych problemów mających na celu udowodnienie, że czworokąt jest prostokątem.

Dany jest czworokąt ABCD, który ma dwie przekątne prostopadłe do siebie. Niech E, F, G, H będą odpowiednio środkami boków AB, BC, CD, AD. Jaki kształt ma czworokąt EFGH? Dlaczego?

Rozwiązanie:

Ponieważ E jest środkiem odcinka AB, H jest środkiem odcinka AD

=> EH jest środkową trójkąta ABD.

(1)

Ponieważ F jest środkiem odcinka BC, G jest środkiem odcinka CD

=> FG jest środkową trójkąta BCD

(2)

Z (1) i (2) =>

Rozważmy czworokąt EFGH.

FG // EH

FG = EH

=> EFGH jest równoległobokiem (znak rozpoznawczy)

Z drugiej strony:

Posiada również:

E jest środkiem odcinka AB, F jest środkiem odcinka BC.

=> EF jest środkową trójkąta ABC

=> EF // AC

Ale EH ⊥ AC => EH ⊥ EF

Równoległobok EFGH ma kąt prosty

=> EFGH jest prostokątem