Wzory na kombinacje, permutacje i permutacje

Jaki jest wzór na obliczanie kombinacji i permutacji? W tym artykule dowiesz się, jak obliczać kombinacje i inne powiązane wzory.

Permutacje i kombinacje to najbardziej podstawowe koncepcje matematyczne, które obejmują wybieranie elementów z grupy lub zbioru.

  • Permutacja to uporządkowanie elementów według kolejności wyboru z danej grupy.
  • Kombinacja polega na doborze elementów bez względu na ich kolejność.

Spis treści

Wzór kombinatoryczny

Biorąc pod uwagę zbiór A o n elementach i liczbę całkowitą k, (1 ≤ k ≤ n). Każdy podzbiór zbioru A mający k elementów nazywa się k-krotną kombinacją n elementów zbioru A.

Wzór kombinowany K n

Wzór na właściwości kombinacji:

Przykłady kombinatoryki

Przykład 1: 

Grupa 12 studentów. Ile jest sposobów:

a) Wybierz 2 przedstawicieli grupy

b) Wybierz 2 osoby i przydziel im stanowiska lidera zespołu i zastępcy lidera zespołu.

c) Podziel grupę na dwie grupy, przy czym lider grupy i jego zastępca będą w różnych grupach.

Rozwiązanie

a) Wybierz 2 przyjaciół spośród 12 przyjaciół, którzy są kombinacjami 2 z 12: C122 = 66 sposobów.

b) Wybierz 2 osoby i przydziel im zadanie połączenia 2 z 12: A122 = 132 sposoby.

c) Podziel grupę na 2 grupy, każda grupa składa się z 6 członków.

W którym lider zespołu i zastępca lidera zespołu znajdują się w różnych grupach.

Spośród pozostałych 10 znajomych wybierz 5 osób, które będą w tej samej grupie co lider zespołu: C105 = 252 sposoby.

Spośród pozostałych 5 osób wybierz 5 osób, które znajdą się w tej samej grupie co zastępca lidera: C55 = 1 droga.

Zatem sposobów jest 252,1 = 252.

Wzór permutacyjny

Biorąc pod uwagę zbiór A o n elementach i liczbę całkowitą k, (1 ≤ k ≤ n). Gdy weźmiemy k elementów zbioru A i uporządkujemy je w odpowiedniej kolejności, otrzymamy k-krotne zaburzenie n elementów zbioru A (nazywane n-krotnym zaburzeniem k zbioru A).

Liczba k-permutacji zbioru n-elementowego wynosi:

Wzór permutacyjny:

  • Niektóre konwencje: 0! = 1, An0 = 1, Ann = n!
  • Charakterystyka: Jest to sortowanie uporządkowane, a liczba elementów do posortowania wynosi k: 0 ≤ k ≤ n.

Na przykład: 

Z cyfr od 0 do 9. Na ile sposobów można utworzyć liczbę naturalną taką, aby:

a) Liczba składająca się z 6 różnych cyfr

b) Liczba składająca się z 6 różnych cyfr i podzielna przez 10

c) Liczby nieparzyste mają 6 różnych cyfr.

Rozwiązanie

a) Utwórz liczbę składającą się z 6 różnych cyfr

Wybierz pierwszą cyfrę od 1 do 9: istnieje 9 sposobów wyboru

Pozostałe cyfry stanowią 5. permutację pozostałych 9 liczb (oprócz pierwszej cyfry) z A95

Tak więc jest 9A95 = 136080 liczb.

b) Liczba składająca się z 6 różnych cyfr i podzielna przez 10

Wybierz cyfrę jednostki: istnieje 1 sposób wyboru cyfry 0

Wybierz pozostałe cyfry jako 5. permutację pozostałych 9 liczb (oprócz cyfry 0) z A95

Tak więc jest A95 = 15120 liczb.

c) Niech liczba Wzory na kombinacje, permutacje i permutacjebędzie liczbą nieparzystą składającą się z 6 różnych cyfr utworzonych z cyfr od 0 do 9.

Ponieważ Wzory na kombinacje, permutacje i permutacjejest nieparzysta, f ∈{1; 3; 5; 7; 9}

Wybierz f: istnieje 5 sposobów wyboru

Wybierz a z cyfr {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9}\{f}: istnieje 8 sposobów wyboru

Wybierz b, c, d, e jako 4-cyfrowy kompleks pozostałych 8 cyfr (oprócz f i a): mamy A84

Tak więc jest 5,8A84 = 67200 liczb.

Permutacja

a) Definicja:

- Dany jest zbiór A składający się z n elementów (n ≥ 1).

Każdy wynik uporządkowania n elementów zbioru A nazywa się permutacją n elementów.

- Uwaga: Dwie permutacje n elementów różnią się tylko kolejnością ułożenia.

b) Liczba permutacji:

- Symbol Pn oznacza liczbę permutacji n elementów.

Wzór permutacyjny:

Pn = n(n – 1)…2,1 = n!

Konwencja: 0! = 1; 1! = 1.

Na przykład:  Ustaw 10 osób, w tym 5 chłopców i 5 dziewcząt, na ławce. Na ile sposobów można ułożyć elementy tak, aby:

a) Sortuj dowolne

b) Chłopcy siedzą obok siebie

c) Chłopcy i dziewczęta siadają naprzemiennie.

Rozwiązanie

a) Liczba sposobów ułożenia 10 osób na ławce to permutacja 10:10!

b) Ustaw chłopców obok siebie. Umieściliśmy 5 chłopców w „paczce”: jest ich 5! jak ułożyć wewnątrz „pakietu”

Następnie ustaw 5 dziewcząt w „grupie” na ławce w następujący sposób: 6! jak to zorganizować

Więc jest ich 5! . 6! = 86400 sposobów na ustawienie chłopców tak, aby siedzieli obok siebie.

c) Załóżmy, że 10 osób usadowiło się na ławkach ponumerowanych od 1 do 10.

Naprzemiennie chłopcy i dziewczęta

+ Przypadek 1: Chłopcy siedzą w dziwnych pozycjach, dziewczynki w parzystych pozycjach

Liczba sposobów ułożenia chłopców: 5!

Liczba sposobów ułożenia dziewczynek: 5!

Więc jest ich 5! . 5! jak to zorganizować

+ Przypadek 2: Chłopcy siedzą w równych pozycjach, dziewczynki w dziwnych pozycjach

Podobnie jak w powyższym przypadku mamy 5! . 5! jak to zorganizować

Więc jest ich 2,5! . 5! = 28800 sposobów ułożenia.

Różnica między permutacją a kombinacją

Różnicę między permutacją i kombinacją można zrozumieć dzięki poniższej tabeli:

Permutacja

Połączenie

W permutacjach kolejność ułożenia ma bardzo duże znaczenie.

Na przykład AB i BA to różne kombinacje.

W połączeniu kolejność ułożenia nie ma znaczenia.

Na przykład AB i BA to podobne kombinacje.

Permutację stosuje się, gdy zachodzi potrzeba sortowania lub klasyfikowania różnych rodzajów materii.

Kombinacje stosuje się, gdy trzeba ułożyć rzeczy tego samego typu.

Permutacja dwóch rzeczy spośród trzech podanych

a, b, c są równe ab, ba, bc, cb, ac, ca.

Kombinacja to połączenie dwóch rzeczy spośród trzech podanych.

a, b, c są równe ab, bc, ca.

Aby dowiedzieć się więcej o innych wzorach matematycznych, odwiedź sekcję Edukacja i nauka na stronie Quantrimang.com.

Sign up and earn $1000 a day ⋙

Leave a Comment

Czy mogę używać dwóch routerów w tej samej sieci domowej?

Czy mogę używać dwóch routerów w tej samej sieci domowej?

Jeśli masz dużą sieć domową, możesz mieć trudności z bezprzewodowym nawiązaniem z niej połączenia z niektórych miejsc w domu. Drugi router może poprawić wydajność sieci i pomóc w nawiązywaniu połączenia z dowolnego miejsca w domu.

5 powodów, dla których użytkownicy nie używają przycisku Meta AI WhatsApp, mimo jego przydatności

5 powodów, dla których użytkownicy nie używają przycisku Meta AI WhatsApp, mimo jego przydatności

Nowy przycisk AI firmy Meta pojawia się w czatach WhatsApp, umożliwiając szybką interakcję z asystentem AI. Choć może się to wydawać przydatne, istnieje kilka ważnych powodów, dla których wiele osób rezygnuje z tego rozwiązania.

Czy swędzenie pach jest objawem ostrzegawczym raka?

Czy swędzenie pach jest objawem ostrzegawczym raka?

Swędzenie pach jest często spowodowane chorobami skóry. Jednak niektóre schorzenia, w tym niektóre rodzaje nowotworów, mogą powodować swędzącą wysypkę pod pachami i inne objawy.

Na czym polega choroba samoistnego krwawienia z nosa?

Na czym polega choroba samoistnego krwawienia z nosa?

Przyczyną krwawienia z nosa mogą być przyjmowane leki, stan zdrowia, a nawet suche powietrze. Oto, co musisz wiedzieć o krwawieniach z nosa.

4 sieci VPN, które nie wymagają logowania ani rejestracji

4 sieci VPN, które nie wymagają logowania ani rejestracji

Czy chcesz korzystać z zalet sieci VPN bez konieczności zakładania konta? Trudno w to uwierzyć, ale takie opcje istnieją.

Najnowszy kod do gry Sword Sweep Eight Desolations i jak go wykorzystać

Najnowszy kod do gry Sword Sweep Eight Desolations i jak go wykorzystać

W grze Code Piu Piu Master gracze otrzymują szereg atrakcyjnych nagród, takich jak klejnoty, złoto i kłódka ze skarbem.

Porady dotyczące organizacji zadań w Gmailu na Androidzie i iPhonie w sposób niezwykle profesjonalny

Porady dotyczące organizacji zadań w Gmailu na Androidzie i iPhonie w sposób niezwykle profesjonalny

Aplikacja Gmail na Androida oferuje szereg przydatnych funkcji, które mogą zaoszczędzić Twój czas, uporządkować skrzynkę odbiorczą i pomóc Ci wydajniej zarządzać pocztą e-mail.

Jak używać Canva AI do tworzenia wizytówek

Jak używać Canva AI do tworzenia wizytówek

Przy projektowaniu wizytówki możesz skorzystać z usług Canva Magic Design, Magic Media, Magic Write i Canva Print.

Najbardziej niezwykłe ptaki – niektóre zdają się „podróżować” na Ziemię z innego świata

Najbardziej niezwykłe ptaki – niektóre zdają się „podróżować” na Ziemię z innego świata

Podziwiajmy piękno ptaków o wyjątkowym i dziwnym wyglądzie, jakby przyleciały na Ziemię z innego świata.

Najnowszy Kodeks Trzech Królestw Działa Działa Działa

Najnowszy Kodeks Trzech Królestw Działa Działa Działa

Code Tam Quoc Run Run Run to niezastąpiona procedura wymiany prezentów, która obowiązuje przed wzięciem udziału w biegowych meczach, w których będziesz musiał zniszczyć otaczające cię agresywne tłumy.

Najnowszy kod Long Ngu Suong Thanh i jak go wykorzystać

Najnowszy kod Long Ngu Suong Thanh i jak go wykorzystać

Zrealizuj poniżej kod podarunkowy Long Ngu Suong Thanh, aby otrzymać cenne nagrody, takie jak bohaterowie, jedzenie, skrzynie z diamentami...

Kod do symulatora wędkarskiego, kod do gry Fishing Fever i jak go wprowadzić

Kod do symulatora wędkarskiego, kod do gry Fishing Fever i jak go wprowadzić

Kod programu Fishing Simulator może wygasnąć z nieznaną datą. Dlatego sprawdzaj regularnie kod programu Fishing Simulator opisany w tym artykule.

13 pięknych i stylowych krótkich fryzur damskich

13 pięknych i stylowych krótkich fryzur damskich

Poniżej znajdziesz najpiękniejsze, indywidualne krótkie fryzury damskie, które pomagają również „zhakować” wiek i które są najbardziej lubiane przez dzisiejsze kobiety.

Burze słoneczne tworzą oszałamiające zorze polarne na całym świecie

Burze słoneczne tworzą oszałamiające zorze polarne na całym świecie

Okres od 6 do 13 października to emocjonujący tydzień dla miłośników nieba, ponieważ w wielu miejscach na całym świecie można wówczas oglądać olśniewające zorze polarne.

Co robić, gdy masz problemy z zasypianiem?

Co robić, gdy masz problemy z zasypianiem?

Ustalenie priorytetów w zakresie stałego harmonogramu snu i wieczornego wyciszenia może pomóc w poprawie jakości snu. Oto, co musisz wiedzieć, aby przestać przewracać się z boku na bok w nocy.