Jaki jest wzór na obliczanie kombinacji i permutacji? W tym artykule dowiesz się, jak obliczać kombinacje i inne powiązane wzory.
Permutacje i kombinacje to najbardziej podstawowe koncepcje matematyczne, które obejmują wybieranie elementów z grupy lub zbioru.
- Permutacja to uporządkowanie elementów według kolejności wyboru z danej grupy.
- Kombinacja polega na doborze elementów bez względu na ich kolejność.
Spis treści
Wzór kombinatoryczny
Biorąc pod uwagę zbiór A o n elementach i liczbę całkowitą k, (1 ≤ k ≤ n). Każdy podzbiór zbioru A mający k elementów nazywa się k-krotną kombinacją n elementów zbioru A.
Wzór kombinowany K n
Wzór na właściwości kombinacji:
Przykłady kombinatoryki
Przykład 1:
Grupa 12 studentów. Ile jest sposobów:
a) Wybierz 2 przedstawicieli grupy
b) Wybierz 2 osoby i przydziel im stanowiska lidera zespołu i zastępcy lidera zespołu.
c) Podziel grupę na dwie grupy, przy czym lider grupy i jego zastępca będą w różnych grupach.
Rozwiązanie
a) Wybierz 2 przyjaciół spośród 12 przyjaciół, którzy są kombinacjami 2 z 12: C122 = 66 sposobów.
b) Wybierz 2 osoby i przydziel im zadanie połączenia 2 z 12: A122 = 132 sposoby.
c) Podziel grupę na 2 grupy, każda grupa składa się z 6 członków.
W którym lider zespołu i zastępca lidera zespołu znajdują się w różnych grupach.
Spośród pozostałych 10 znajomych wybierz 5 osób, które będą w tej samej grupie co lider zespołu: C105 = 252 sposoby.
Spośród pozostałych 5 osób wybierz 5 osób, które znajdą się w tej samej grupie co zastępca lidera: C55 = 1 droga.
Zatem sposobów jest 252,1 = 252.
Wzór permutacyjny
Biorąc pod uwagę zbiór A o n elementach i liczbę całkowitą k, (1 ≤ k ≤ n). Gdy weźmiemy k elementów zbioru A i uporządkujemy je w odpowiedniej kolejności, otrzymamy k-krotne zaburzenie n elementów zbioru A (nazywane n-krotnym zaburzeniem k zbioru A).
Liczba k-permutacji zbioru n-elementowego wynosi:
Wzór permutacyjny:
- Niektóre konwencje: 0! = 1, An0 = 1, Ann = n!
- Charakterystyka: Jest to sortowanie uporządkowane, a liczba elementów do posortowania wynosi k: 0 ≤ k ≤ n.
Na przykład:
Z cyfr od 0 do 9. Na ile sposobów można utworzyć liczbę naturalną taką, aby:
a) Liczba składająca się z 6 różnych cyfr
b) Liczba składająca się z 6 różnych cyfr i podzielna przez 10
c) Liczby nieparzyste mają 6 różnych cyfr.
Rozwiązanie
a) Utwórz liczbę składającą się z 6 różnych cyfr
Wybierz pierwszą cyfrę od 1 do 9: istnieje 9 sposobów wyboru
Pozostałe cyfry stanowią 5. permutację pozostałych 9 liczb (oprócz pierwszej cyfry) z A95
Tak więc jest 9A95 = 136080 liczb.
b) Liczba składająca się z 6 różnych cyfr i podzielna przez 10
Wybierz cyfrę jednostki: istnieje 1 sposób wyboru cyfry 0
Wybierz pozostałe cyfry jako 5. permutację pozostałych 9 liczb (oprócz cyfry 0) z A95
Tak więc jest A95 = 15120 liczb.
c) Niech liczba
będzie liczbą nieparzystą składającą się z 6 różnych cyfr utworzonych z cyfr od 0 do 9.
Ponieważ
jest nieparzysta, f ∈{1; 3; 5; 7; 9}
Wybierz f: istnieje 5 sposobów wyboru
Wybierz a z cyfr {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9}\{f}: istnieje 8 sposobów wyboru
Wybierz b, c, d, e jako 4-cyfrowy kompleks pozostałych 8 cyfr (oprócz f i a): mamy A84
Tak więc jest 5,8A84 = 67200 liczb.
Permutacja
a) Definicja:
- Dany jest zbiór A składający się z n elementów (n ≥ 1).
Każdy wynik uporządkowania n elementów zbioru A nazywa się permutacją n elementów.
- Uwaga: Dwie permutacje n elementów różnią się tylko kolejnością ułożenia.
b) Liczba permutacji:
- Symbol Pn oznacza liczbę permutacji n elementów.
Wzór permutacyjny:
Pn = n(n – 1)…2,1 = n!
Konwencja: 0! = 1; 1! = 1.
Na przykład: Ustaw 10 osób, w tym 5 chłopców i 5 dziewcząt, na ławce. Na ile sposobów można ułożyć elementy tak, aby:
a) Sortuj dowolne
b) Chłopcy siedzą obok siebie
c) Chłopcy i dziewczęta siadają naprzemiennie.
Rozwiązanie
a) Liczba sposobów ułożenia 10 osób na ławce to permutacja 10:10!
b) Ustaw chłopców obok siebie. Umieściliśmy 5 chłopców w „paczce”: jest ich 5! jak ułożyć wewnątrz „pakietu”
Następnie ustaw 5 dziewcząt w „grupie” na ławce w następujący sposób: 6! jak to zorganizować
Więc jest ich 5! . 6! = 86400 sposobów na ustawienie chłopców tak, aby siedzieli obok siebie.
c) Załóżmy, że 10 osób usadowiło się na ławkach ponumerowanych od 1 do 10.
Naprzemiennie chłopcy i dziewczęta
+ Przypadek 1: Chłopcy siedzą w dziwnych pozycjach, dziewczynki w parzystych pozycjach
Liczba sposobów ułożenia chłopców: 5!
Liczba sposobów ułożenia dziewczynek: 5!
Więc jest ich 5! . 5! jak to zorganizować
+ Przypadek 2: Chłopcy siedzą w równych pozycjach, dziewczynki w dziwnych pozycjach
Podobnie jak w powyższym przypadku mamy 5! . 5! jak to zorganizować
Więc jest ich 2,5! . 5! = 28800 sposobów ułożenia.
Różnica między permutacją a kombinacją
Różnicę między permutacją i kombinacją można zrozumieć dzięki poniższej tabeli:
Permutacja
|
Połączenie
|
W permutacjach kolejność ułożenia ma bardzo duże znaczenie.
Na przykład AB i BA to różne kombinacje.
|
W połączeniu kolejność ułożenia nie ma znaczenia.
Na przykład AB i BA to podobne kombinacje.
|
Permutację stosuje się, gdy zachodzi potrzeba sortowania lub klasyfikowania różnych rodzajów materii.
|
Kombinacje stosuje się, gdy trzeba ułożyć rzeczy tego samego typu.
|
Permutacja dwóch rzeczy spośród trzech podanych
a, b, c są równe ab, ba, bc, cb, ac, ca.
|
Kombinacja to połączenie dwóch rzeczy spośród trzech podanych.
a, b, c są równe ab, bc, ca.
|
Aby dowiedzieć się więcej o innych wzorach matematycznych, odwiedź sekcję Edukacja i nauka na stronie Quantrimang.com.