Wzory na kombinacje, permutacje i permutacje

Jaki jest wzór na obliczanie kombinacji i permutacji? W tym artykule dowiesz się, jak obliczać kombinacje i inne powiązane wzory.

Permutacje i kombinacje to najbardziej podstawowe koncepcje matematyczne, które obejmują wybieranie elementów z grupy lub zbioru.

• Permutacja to uporządkowanie elementów według kolejności wyboru z danej grupy.
• Kombinacja polega na doborze elementów bez względu na ich kolejność.

Spis treści

• Wzór kombinatoryczny
• Wzór permutacyjny
• Permutacja 

Wzór kombinatoryczny

Biorąc pod uwagę zbiór A o n elementach i liczbę całkowitą k, (1 ≤ k ≤ n). Każdy podzbiór zbioru A mający k elementów nazywa się k-krotną kombinacją n elementów zbioru A.

Wzór kombinowany K n

Wzór na właściwości kombinacji:

Przykłady kombinatoryki

Przykład 1: 

Grupa 12 studentów. Ile jest sposobów:

a) Wybierz 2 przedstawicieli grupy

b) Wybierz 2 osoby i przydziel im stanowiska lidera zespołu i zastępcy lidera zespołu.

c) Podziel grupę na dwie grupy, przy czym lider grupy i jego zastępca będą w różnych grupach.

Rozwiązanie

a) Wybierz 2 przyjaciół spośród 12 przyjaciół, którzy są kombinacjami 2 z 12: C122 = 66 sposobów.

b) Wybierz 2 osoby i przydziel im zadanie połączenia 2 z 12: A122 = 132 sposoby.

c) Podziel grupę na 2 grupy, każda grupa składa się z 6 członków.

W którym lider zespołu i zastępca lidera zespołu znajdują się w różnych grupach.

Spośród pozostałych 10 znajomych wybierz 5 osób, które będą w tej samej grupie co lider zespołu: C105 = 252 sposoby.

Spośród pozostałych 5 osób wybierz 5 osób, które znajdą się w tej samej grupie co zastępca lidera: C55 = 1 droga.

Zatem sposobów jest 252,1 = 252.

Wzór permutacyjny

Biorąc pod uwagę zbiór A o n elementach i liczbę całkowitą k, (1 ≤ k ≤ n). Gdy weźmiemy k elementów zbioru A i uporządkujemy je w odpowiedniej kolejności, otrzymamy k-krotne zaburzenie n elementów zbioru A (nazywane n-krotnym zaburzeniem k zbioru A).

Liczba k-permutacji zbioru n-elementowego wynosi:

Wzór permutacyjny:

• Niektóre konwencje: 0! = 1, An0 = 1, Ann = n!
• Charakterystyka: Jest to sortowanie uporządkowane, a liczba elementów do posortowania wynosi k: 0 ≤ k ≤ n.

Na przykład: 

Z cyfr od 0 do 9. Na ile sposobów można utworzyć liczbę naturalną taką, aby:

a) Liczba składająca się z 6 różnych cyfr

b) Liczba składająca się z 6 różnych cyfr i podzielna przez 10

c) Liczby nieparzyste mają 6 różnych cyfr.

Rozwiązanie

a) Utwórz liczbę składającą się z 6 różnych cyfr

Wybierz pierwszą cyfrę od 1 do 9: istnieje 9 sposobów wyboru

Pozostałe cyfry stanowią 5. permutację pozostałych 9 liczb (oprócz pierwszej cyfry) z A95

Tak więc jest 9A95 = 136080 liczb.

b) Liczba składająca się z 6 różnych cyfr i podzielna przez 10

Wybierz cyfrę jednostki: istnieje 1 sposób wyboru cyfry 0

Wybierz pozostałe cyfry jako 5. permutację pozostałych 9 liczb (oprócz cyfry 0) z A95

Tak więc jest A95 = 15120 liczb.

c) Niech liczba będzie liczbą nieparzystą składającą się z 6 różnych cyfr utworzonych z cyfr od 0 do 9.

Ponieważ jest nieparzysta, f ∈{1; 3; 5; 7; 9}

Wybierz f: istnieje 5 sposobów wyboru

Wybierz a z cyfr {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9}\{f}: istnieje 8 sposobów wyboru

Wybierz b, c, d, e jako 4-cyfrowy kompleks pozostałych 8 cyfr (oprócz f i a): mamy A84

Tak więc jest 5,8A84 = 67200 liczb.

Permutacja

a) Definicja:

- Dany jest zbiór A składający się z n elementów (n ≥ 1).

Każdy wynik uporządkowania n elementów zbioru A nazywa się permutacją n elementów.

- Uwaga: Dwie permutacje n elementów różnią się tylko kolejnością ułożenia.

b) Liczba permutacji:

- Symbol Pn oznacza liczbę permutacji n elementów.

Wzór permutacyjny:

Pn = n(n – 1)…2,1 = n!

Konwencja: 0! = 1; 1! = 1.

Na przykład:  Ustaw 10 osób, w tym 5 chłopców i 5 dziewcząt, na ławce. Na ile sposobów można ułożyć elementy tak, aby:

a) Sortuj dowolne

b) Chłopcy siedzą obok siebie

c) Chłopcy i dziewczęta siadają naprzemiennie.

Rozwiązanie

a) Liczba sposobów ułożenia 10 osób na ławce to permutacja 10:10!

b) Ustaw chłopców obok siebie. Umieściliśmy 5 chłopców w „paczce”: jest ich 5! jak ułożyć wewnątrz „pakietu”

Następnie ustaw 5 dziewcząt w „grupie” na ławce w następujący sposób: 6! jak to zorganizować

Więc jest ich 5! . 6! = 86400 sposobów na ustawienie chłopców tak, aby siedzieli obok siebie.

c) Załóżmy, że 10 osób usadowiło się na ławkach ponumerowanych od 1 do 10.

Naprzemiennie chłopcy i dziewczęta

+ Przypadek 1: Chłopcy siedzą w dziwnych pozycjach, dziewczynki w parzystych pozycjach

Liczba sposobów ułożenia chłopców: 5!

Liczba sposobów ułożenia dziewczynek: 5!

Więc jest ich 5! . 5! jak to zorganizować

+ Przypadek 2: Chłopcy siedzą w równych pozycjach, dziewczynki w dziwnych pozycjach

Podobnie jak w powyższym przypadku mamy 5! . 5! jak to zorganizować

Więc jest ich 2,5! . 5! = 28800 sposobów ułożenia.

Różnica między permutacją a kombinacją

Różnicę między permutacją i kombinacją można zrozumieć dzięki poniższej tabeli:

Aby dowiedzieć się więcej o innych wzorach matematycznych, odwiedź sekcję Edukacja i nauka na stronie Quantrimang.com.