Co to jest funkcja parzysta? Co to jest funkcja nieparzysta?

Co to jest funkcja parzysta ? Nie tylko funkcje parzyste , ale także funkcje nieparzyste cieszą się dużym zainteresowaniem. Poznajmy te dwa pojęcia razem!

Funkcje matematyczne można podzielić na parzyste i nieparzyste w zależności od ich symetrii wzdłuż osi. Funkcja parzysta to funkcja, która pozostaje stała, gdy jej wejście jest negowane (wyjście jest takie samo dla x i -x), co odzwierciedla symetrię wokół osi y. Z drugiej strony funkcja nieparzysta staje się ujemna, gdy jej wejście zostanie zanegowane, wykazując symetrię wokół początku układu współrzędnych. Funkcja f jest parzysta, jeśli f(-x) = f(x), dla wszystkich x należących do dziedziny f. Funkcja f jest funkcją nieparzystą, jeżeli f(-x) = -f(x) dla wszystkich x należących do dziedziny f, czyli:

• Funkcja parzysta:f(-x) = f(x)
• Funkcja nieparzysta:f(-x) = -f(x)

W tym artykule omówimy szczegółowo funkcje parzyste i nieparzyste, definicję funkcji parzystych i nieparzystych, funkcje parzyste i nieparzyste w trygonometrii, wykresy funkcji parzystych i nieparzystych oraz wiele innych treści i informacji, które powinieneś znać.

Spis treści

• Co to jest funkcja parzysta?
• Co to jest funkcja nieparzysta?
• Wykres funkcji parzystych i nieparzystych
• Jaka funkcja nie jest ani parzysta, ani nieparzysta?
• Zapamiętaj typową funkcję parzysto-nieparzystą
• Jak określić funkcje parzyste i nieparzyste
• Ćwiczenia z badania parzystości funkcji

Co to jest funkcja parzysta?

Funkcję y = f(x) o dziedzinie D nazywamy funkcją parzystą, jeżeli spełnia następujące dwa warunki:

• ∀ x ∈ D ⇒ − x ∈ D
• ∀ x ∈ D : f ( − x ) = f ( x )

Na przykład: Funkcja y = x² jest funkcją parzystą.

Co to jest funkcja nieparzysta?

Funkcję y = f ( x ) o dziedzinie D nazywamy funkcją nieparzystą, jeżeli spełnia następujące dwa warunki:

• ∀ x ∈ D ⇒ − x ∈ D
• ∀ x ∈ D : f (−x)= − f(x)

Przykład: Przykład: Funkcja y = x jest funkcją nieparzystą.

Uwaga. Pierwszy warunek nazywany jest warunkiem symetrii dziedziny wokół 0.

Na przykład, D = (-2;2) jest zbiorem symetrycznym względem 0, natomiast zbiór D' = [-2;3] nie jest symetryczny względem 0.

Zbiór R = (−∞;+∞) jest zbiorem symetrycznym.

Uwaga: Funkcja nie musi być parzysta ani nieparzysta.

Na przykład: Funkcja y = 2x + 1 nie jest ani funkcją parzystą, ani nieparzystą, ponieważ:

Przy x = 1 mamy f(1) = 2,1 + 1 = 3

Przy x = -1 mamy f(-1) = 2.(-1) + 1 = -1

→ Dwie wartości f(1) i f(-1) nie są ani równe, ani przeciwne.

Wykres funkcji parzystych i nieparzystych

Nawet funkcje mają wykresy, które przyjmują oś y jako oś symetrii.

Funkcja nieparzysta ma wykres, którego środkiem symetrii jest początek O.

Jaka funkcja nie jest ani parzysta, ani nieparzysta?

Nie każdą funkcję można zdefiniować jako parzystą lub nieparzystą. Niektóre funkcje nie są ani parzyste, ani nieparzyste, na przykład: y=x²+x, y=tan(x-1),…

Ponadto istnieje specjalny typ funkcji, która jest jednocześnie parzysta i nieparzysta. Na przykład funkcja y=0

Zapamiętaj typową funkcję parzysto-nieparzystą

Funkcja parzysta

y = ax2 + bx + c wtedy i tylko wtedy, gdy b = 0

Funkcja kwadratowa

y = cos x

y = f(x)

Funkcja nieparzysta

y = ax + b wtedy i tylko wtedy, gdy b = 0

y = ax3 + bx2 + cx + d wtedy i tylko wtedy, gdy b = d = 0

y = sinx; y = tanx; y = cotx

Niektóre inne przypadki

Funkcja F(x) jest parzysta i ma pochodną w swojej dziedzinie, to jej pochodna jest funkcją nieparzystą.

Funkcja F(x) jest nieparzysta i ma pochodną w swojej dziedzinie, zatem jej pochodna jest funkcją parzystą.

Funkcja wielomianowa stopnia nieparzystego nie jest funkcją parzystą.

Funkcje wielomianowe stopnia parzystego nie są funkcjami nieparzystymi.

Jak określić funkcje parzyste i nieparzyste

Aby określić funkcję parzysto-nieparzystą, należy wykonać następujące kroki:

Krok 1: Znajdź domenę: D

Jeżeli ∀x ∈ D ⇒ -x ∈ D Przejdź do kroku trzeciego

Jeżeli ∃ x0 ∈ D ⇒ -x0 ∉ D, to funkcja nie jest ani parzysta, ani nieparzysta.

Krok 2: Zamień x na -x i oblicz f(-x)

Krok 3: Zbadaj znak (porównaj f(x) i f(-x)):

° Jeśli f(-x) = f(x) to funkcja f jest parzysta

° Jeśli f(-x) = -f(x) to funkcja f jest nieparzysta

° Inne przypadki: funkcja f nie ma parzystości

Ćwiczenia z badania parzystości funkcji

Lekcja 4, strona 39, podręcznik do algebry 10: Rozważ własności parzyste-nieparzyste następujących funkcji:

a) y = |x|;

b) y = (x + 2)2;

c) y = x3 + x;

d) y = x2 + x + 1.

Nagroda

a) Niech y = f(x) = |x|.

° TXĐ: D = R, więc dla ∀x ∈ D wówczas –x ∈ D.

° f(–x) = |–x| = |x| = f(x).

→ Tak więc funkcja y = |x| jest funkcją parzystą.

b) Niech y = f(x) = (x + 2)2.

° TXĐ: D = R, więc dla ∀x ∈ D wówczas –x ∈ D.

° f(–x) = (–x + 2)2 = (x – 2)2 ≠ (x + 2)2 = f(x)

° f(–x) = (–x + 2)2 = (x – 2)2 ≠ – (x + 2)2 = –f(x).

→ Zatem funkcja y = (x + 2)2 nie jest ani parzysta, ani nieparzysta.

c) Niech y = f(x) = x3 + x.

° TXĐ: D = R, więc dla ∀x ∈ D wówczas –x ∈ D.

° f(–x) = (–x)3 + (–x) = –x3 – x = – (x3 + x) = –f(x)

→ Zatem y = x3 + x jest funkcją nieparzystą.

d) Niech y = f(x) = x2 + x + 1.

° TXĐ: D = R, więc dla ∀x ∈ D wówczas –x ∈ D.

° f(–x) = (–x)2 + (–x) + 1 = x2 – x + 1 ≠ x2 + x + 1 = f(x)

° f(–x) = (–x)2 + (–x) + 1 = x2 – x + 1 ≠ –(x2 + x + 1) = –f(x)

→ Zatem funkcja y = x2 + x + 1 nie jest ani parzysta, ani nieparzysta.

Czy w R zdefiniowano funkcję, która jest jednocześnie funkcją parzystą i nieparzystą?

Nagroda:

Łatwo zauważyć, że funkcja y = 0 jest funkcją określoną na R, a jednocześnie funkcją parzystą i nieparzystą.

Załóżmy, że funkcja y = f(x) jest dowolną funkcją posiadającą takie własności. Wówczas dla każdego x w R mamy:

F (–x) = f (x) (ponieważ f jest funkcją parzystą);

F (–x) = – f (x) (ponieważ f jest funkcją nieparzystą).

Z tego możemy wywnioskować, że dla każdego x w R, f(x)=−f(x), co oznacza f(x)=0. Zatem y=0 jest jedyną funkcją zdefiniowaną w R, która jest jednocześnie funkcją parzystą i nieparzystą.

Często zadawane pytania o funkcjach parzystych i nieparzystych

Czym są funkcje parzyste i nieparzyste?

Jeżeli f(x) = f(−x) dla wszystkich x w ich dziedzinach, to parzyste funkcje są symetryczne względem osi y. Funkcje nieparzyste są symetryczne względem początku układu współrzędnych, co oznacza, że ​​dla wszystkich x w swojej dziedzinie, f(−x) = −f(x).

Jak sprawdzić, czy funkcja jest parzysta czy nieparzysta?

Funkcja jest parzysta, jeśli f(-x) = f(x), i nieparzysta, jeśli f(-x) = -f(x) dla wszystkich elementów należących do dziedziny f. Jeśli liczba nie spełnia żadnej z tych własności, to nie jest ani parzysta, ani nieparzysta.

Jaka jest różnica między funkcjami okresowymi nieparzystymi i parzystymi?

Różnica między funkcjami okresowymi nieparzystymi i parzystymi: Funkcja parzysta spełnia warunek f(−x) = f(x) dla wszystkich x w dziedzinie, natomiast funkcja nieparzysta spełnia warunek f(−x) = −f(x).

Oprócz funkcji parzystych i nieparzystych, w dziale Edukacja na stronie Quantrimang.com możesz nauczyć się innej ważnej wiedzy matematycznej, takiej jak liczby kwadratowe , liczby niewymierne, liczby wymierne , liczby pierwsze , liczby naturalne ...