Co to jest liczba kwadratowa? Jak rozpoznać i szczegółowe przykłady

Doskonała liczba kwadratowa to liczba równa kwadratowi liczby całkowitej. Aby lepiej zrozumieć ten typ liczb, zapoznaj się z właściwościami, rozpoznawaniem i obliczeniami liczb kwadratowych w poniższym artykule.

Spis treści

• Co to jest liczba kwadratowa?
  • Jak identyfikować liczby kwadratowe
  • Podzielność liczb kwadratowych
  • Najmniejsza liczba kwadratowa
  • Największa liczba kwadratowa
  • Identyczna stała do obliczenia różnicy dwóch liczb kwadratowych
  • Charakterystyka liczb kwadratowych
• Liczby kwadratowe
• Przykłady liczb kwadratowych doskonałych
• Ćwiczenia z liczbami kwadratowymi

Co to jest liczba kwadratowa?

Doskonała liczba kwadratowa to liczba równa dokładnemu kwadratowi liczby całkowitej. Inaczej mówiąc, doskonała liczba kwadratowa to liczba naturalna, której pierwiastek kwadratowy jest również liczbą naturalną.

Do liczb całkowitych zalicza się liczby całkowite dodatnie (1, 2, 3,…), liczby całkowite ujemne (-1, -2, -3,…) i 0. Zbiór liczb całkowitych oznaczamy symbolem Z.

Jednak pierwiastek kwadratowy z liczby kwadratowej może przyjmować wyłącznie wartości naturalne, czyli liczby całkowite dodatnie.

Na przykład:

Liczba 4 jest kwadratem idealnym, ponieważ kwadrat liczby 2 wynosi 4.

9 jest liczbą kwadratową (ponieważ 9 jest równe kwadratowi 3).

Jak identyfikować liczby kwadratowe

1. Spójrz na ostatnią cyfrę : Ostatnią cyfrą idealnej liczby kwadratowej jest 0, 1, 4, 5, 6, 9. Liczby kończące się na 2, 3, 7, 8 nie są nazywane idealnymi liczbami kwadratowymi.

2. Spójrz na ostatnią cyfrę: Idealna liczba kwadratowa może mieć tylko jedną z dwóch form: 4n lub 4n + 1, żadna idealna liczba kwadratowa nie ma formy 4n + 2 lub 4n + 3 (gdzie n = N).

Na przykład: Załóżmy, że n = 1, wówczas liczba kwadratowa ma postać 4 x n = 4. Albo n = 2, wówczas liczba kwadratowa ma postać 4 x 2 + 1 = 9.

Nie może mieć postaci 4 x 2 + 2 = 10 ani 4 x 2 + 3 = 11.

3. Cyfra dziesiątek liczby kwadratowej jest parzysta, jeżeli ostatnią cyfrą jest 1 lub 9.

Na przykład: kwadrat numer 81 (kwadrat 9).

4. Cyfrą dziesiątek liczby kwadratowej kończącej się na 5 jest 2.

Na przykład: kwadrat liczby 225 (kwadrat liczby 15).

5. Jeśli idealna liczba kwadratowa kończy się na 4, cyfra dziesiątek jest liczbą parzystą.

Na przykład: kwadrat liczby 64 (kwadrat liczby 8).

6. Jeżeli liczba kwadratowa kończy się na 6, cyfra dziesiątek jest nieparzysta.

Na przykład: kwadrat liczby 16 (kwadrat liczby 4).

7. Po rozłożeniu na liczby pierwsze, idealna liczba kwadratowa zawiera tylko czynniki pierwsze o parzystych wykładnikach.

Na przykład: Liczba kwadratowa 16 = 2 x 2 x 2 x 2 = 2 ^ 4.

Podzielność liczb kwadratowych

Doskonała liczba kwadratowa podzielna przez liczbę pierwszą p będzie również podzielna przez p^2 i odwrotnie.

• Doskonała liczba kwadratowa podzielna przez 2 jest podzielna przez 2^2 = 4.
• Doskonała liczba kwadratowa podzielna przez 3 jest podzielna przez 3^2 = 9.
• Doskonała liczba kwadratowa podzielna przez 5 jest podzielna przez 5^2 = 25.
• Liczba kwadratowa podzielna przez 8 (= 2^3) jest również podzielna przez 2^4 = 16 (zapisana jako potęga liczby).
• Liczba kwadratowa 36 (6^2) jest podzielna przez 2 => 36 jest podzielna przez 4 (2^2)
• Liczba kwadratowa 144 (12^2) jest podzielna przez 3 (144:3=48) => 144 jest podzielna przez 9 (144:9=16)

Najmniejsza liczba kwadratowa

Najmniejszą idealną liczbą kwadratową w zestawie idealnych liczb kwadratowych jest 0. W zakresie liczb od 0 do 100 znajduje się 10 idealnych liczb kwadratowych mniejszych niż 100. Należą do nich liczby: 0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81.

Największa liczba kwadratowa

• Największą 1-cyfrową liczbą kwadratową jest 9.
• Największą dwucyfrową liczbą kwadratową jest 81.
• Największą trzycyfrową liczbą kwadratową jest 312.
• Największą 4-cyfrową liczbą kwadratową jest 9801
• Największa 5-cyfrowa liczba kwadratowa to 99856

Identyczna stała do obliczenia różnicy dwóch liczb kwadratowych

Na przykład:

Charakterystyka liczb kwadratowych

• Wzór na obliczenie różnicy dwóch liczb kwadratowych: a^2 - b^2 = (ab)(a+b).
• Jeżeli liczba kwadratowa jest podzielna przez liczbę pierwszą, to będzie również podzielna przez kwadrat tej liczby pierwszej.

Na przykład: kwadrat liczby 18 jest podzielny przez 3, to będzie również podzielny przez kwadrat liczby 3, czyli 9.

Liczby kwadratowe

Istnieją dwa rodzaje liczb kwadratowych:

Przykłady liczb kwadratowych doskonałych

Liczby 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81,100, … są liczbami kwadratowymi.

4 = 2² jest liczbą parzystą, kwadratową.

9 = 3² jest nieparzystą liczbą kwadratową.

16 = 4² jest liczbą parzystą, kwadratową.

25 = 5² jest nieparzystą liczbą kwadratową.

36 = 6² jest liczbą parzystą, kwadratową.

49 = 7² jest nieparzystą liczbą kwadratową.

64 = 8² jest liczbą parzystą, kwadratową.

81 = 9² jest nieparzystą liczbą kwadratową.

100 = 10² jest liczbą parzystą, kwadratową.

Uwaga: Liczby 0 i 1 są również liczbami kwadratowymi.

Ćwiczenia z liczbami kwadratowymi

Lekcja 1 : W poniższym ciągu liczb, który jest liczbą doskonałą kwadratową: 9, 81, 790, 408, 121, 380, 2502, 441, 560.

Rozwiązanie: Idealne liczby kwadratowe to 9 (3²), 81 (9²), 121 (11²), 441 (21²).

Lekcja 2:  Udowodnij, że liczba 1234567890 nie jest liczbą kwadratową.

Rozwiązanie: Liczba 1234567890 jest podzielna przez 5 (ponieważ ostatnią cyfrą jest 0), ale nie jest podzielna przez 25 (ponieważ dwie ostatnie cyfry to 90). Zatem liczba 1234567890 nie jest liczbą kwadratową.

Lekcja 3 : Udowodnij, że liczba B = 4n^4 + 4n³ + n² jest kwadratem całkowitej liczby dodatniej n.

Rozwiązanie:

B = 4n^4 + 4n³ + n²= n²(4n² + 4n + 1)= n²(2n + 1)²

Widzimy, że B można przedstawić jako iloczyn dwóch kwadratów. Lub B = [n(2n+1)]², gdzie n(2n + 1) jest liczbą całkowitą. Wniosek jest więc taki, że B jest liczbą kwadratową.

Lekcja 4: 

Znajdź liczbę naturalną n taką, aby poniższa liczba była kwadratem doskonałym: B = n² + 4n + 1.

Rozwiązanie:

Ponieważ liczba B jest kwadratem idealnym, przyjmujemy n² + 4n + 1 = b²

= 4n²+16n+4=4b²

= (4n²+16n+16)-16+4=4b²

= (2n+4)²- 4b² = 12

= (2n+4+2b)x(2n+4-2b)=12

Zwróć uwagę, że 2n+4+2b 2n+4-2b, a wszystkie te liczby są dodatnie. Możemy więc znaleźć odpowiednie pary liczb: (12, 1), (6, 2) i (4, 3). Aby znaleźć n i b, należy rozważyć każdy przypadek. Swoiście:

• Przypadek 1: (2n + 4 + 2b) (2n + 4 - 2b) = 12 = 12 x 1 = n = 5/4, b = 11/4
• Przypadek 2: (2n + 4 + 2b) (2n + 4 - 2b) = 12 = 6 x 2 = n = 0, b = 1
• Przypadek 3: (2n + 4 + 2b) (2n + 4 - 2b) = 12 = 4 x 3 = n = -1/4, b = 1/4

Ale n jest liczbą naturalną, więc zadowalające są tylko odpowiedzi n = 0, b = 1. A n = 0, więc liczba kwadratowa B = 1.

Mamy nadzieję, że powyższy artykuł dostarczył Ci przydatnych informacji, które pomogą Ci zrozumieć, czym jest idealna liczba kwadratowa, czy 0 jest idealną liczbą kwadratową, a także jakie są właściwości i charakterystyki idealnych liczb kwadratowych. Dzięki temu zdobędziesz większą wiedzę potrzebną do rozwiązywania problemów i zagadnień dotyczących liczb kwadratowych.

Oprócz liczb kwadratowych możesz dowiedzieć się o innych typach liczb w matematyce, takich jak liczby mieszane , ułamki ...