Wzór na obliczenie objętości bryły obrotowej i przykłady ilustrujące

Czym jest blok obrotowy? Jak obliczyć objętość bryły obrotowej?

Bryła obrotowa to kształt utworzony przez obrót płaszczyzny wokół stałej osi, taki jak stożek obrotowy, walec obrotowy, kula obrotowa itp. Poniżej znajduje się wzór na obliczenie objętości bryły obrotowej, zapoznaj się z nim.

Spis treści

• Oblicz objętość bloku kołowego obróconego wokół osi Ox
• Oblicz objętość bloku kołowego obróconego wokół osi Oy
• Przykład obliczania objętości bryły obrotowej

Oblicz objętość bloku kołowego obróconego wokół osi Ox

Jeżeli blok kołowy obraca się wokół osi Ox, do obliczenia objętości obracającego się bloku kołowego można zastosować następujące wzory:

Przypadek 1 : Obracający się blok kołowy utworzony przez:

• Linia y = f(x)
• oś x y=0
• x=a; x=b

Następnie wzór na obliczenie objętości jest następujący:

Przypadek 2 : Blok obrotowy jest tworzony przez:

• Linia y = f(x)
• Linia y= g(x)
• x=a; x=b

Wówczas wzór na obliczenie objętości bryły obrotowej będzie następujący:

z

Oblicz objętość bloku kołowego obróconego wokół osi Oy

Jeżeli blok kołowy obraca się wokół osi Oy, to do obliczenia objętości obracającego się bloku kołowego można zastosować następujące wzory:

Przypadek 1 : Blok obrotowy jest tworzony przez:

• Linia x=g(y)
• Oś pionowa (x=0)
• y=c; y=d

Wówczas wzór na obliczenie objętości bryły obrotowej będzie następujący:

Przypadek 2 : Obracający się blok jest tworzony przez

• Linia x=f(y)
• Równanie x=g(y)
• y=c; y=d

Wówczas objętość bryły obrotowej będzie wynosić:

z

Tabela podsumowująca wzory na obliczenie objętości bryły obrotowej:

1. Vx generowane przez obszar S obracający się wokół Ox:

Przepis :

2. Vx generowane przez obszar S obracający się wokół Ox:

Przepis :

Przykład obliczania objętości bryły obrotowej

Przykład 1: 

Oblicz objętość bryły obrotowej uzyskanej przez obrót płaskiej figury ograniczonej krzywą y = sinx, osią x oraz dwiema prostymi x=0, x=π (rysunek) wokół osi Ox.

Rozwiązanie

Stosując wzór z powyższego twierdzenia mamy

Przykład 2: 

Oblicz objętość bryły obrotowej otrzymanej przez obrót figury płaskiej ograniczonej krzywą i osią x wokół osi x.

Nagroda:

Widzimy:

Dla każdego x jest to zatem równanie półkola o środku O i promieniu R = A, leżącego nad osią Ox. Podczas obrotu wokół osi Ox, płaski kształt utworzy kulę o środku O i promieniu R = A (rysunek). Więc zawsze mamy

 

W przypadku tego typu problemów nie musimy zapisywać wzoru całkowego, ale możemy wyciągnąć wnioski na podstawie wzoru na obliczenie objętości kuli.

Przykład 3: 

Oblicz objętość obiektu leżącego między dwiema płaszczyznami x = 0 i x = 1, wiedząc, że przekrój obiektu przecięty płaszczyzną (P) prostopadłą do osi Ox w punkcie o odciętej x(0≤x≤1) jest prostokątem o dwóch bokach długości x i ln(x2+1).

Nagroda: 

Ponieważ przekrój poprzeczny jest prostokątny, pole przekroju poprzecznego wynosi:

Mamy objętość do obliczenia jako

Przykład 4: Dana jest płaska figura ograniczona liniami y = 3x; y = x; x = 0; x = 1 obraca się wokół osi Ox. Oblicz objętość bryły obrotowej, która powstanie w wyniku tego ruchu.

Nagroda:

Współrzędne przecięcia linii x = 1 z y = x i y = 3x to punkty C(1;1) i B(3;1). Współrzędne przecięcia linii y = 3x z y = x wynoszą O(0;0).

Tak więc objętość obracającego się ciała stałego, którą należy obliczyć, wynosi:

Przykład 5 : Dana jest płaska figura ograniczona liniami y = 2x2; y2 = 4x obraca się wokół osi Ox. Oblicz objętość bryły obrotowej, która powstanie w wyniku tego ruchu.

Nagroda:

Z odpowiednim czasem. Współrzędne punktu przecięcia prostej z to punkty O(0;0) i A(1;2).

Tak więc objętość obracającego się ciała stałego, którą należy obliczyć, wynosi:

W przypadku zadań wymagających obliczenia objętości bryły obrotowej wystarczy w każdym przypadku użyć właściwego wzoru i zwrócić uwagę na ustalenie granicy, aby móc rozwiązać zadanie. Powodzenia!