Wzór na obliczenie przekątnej rombu

Romb jest czworokątem o czterech równych bokach, czworokąt, który ma dwie przekątne prostopadłe do siebie w środku każdej linii, jest rombem, równoległobokiem o dwóch sąsiednich bokach równych... Oprócz kwadratów, prostokątów, trójkątów... romb jest jedną z ważniejszych figur w matematyce i życiu.

Oprócz wzoru na obliczenie obwodu i pola rombu , bardzo ważny jest również sposób obliczenia przekątnej rombu - linii łączącej przeciwległe wierzchołki rombu.

Poniższy artykuł pomoże Ci nauczyć się obliczać przekątną rombu na konkretnych przykładach, prosimy o zapoznanie się z nim.

Spis treści

• Przekątna rombu
• Właściwości przekątnych rombu
• Wzór na obliczenie przekątnej rombu
• Problem z obliczeniem przekątnej rombu

Przekątna rombu

• Przekątna rombu to linia łącząca dwa przeciwległe wierzchołki rombu.
• Romb ma dwie przekątne, które przecinają się w środku rombu.
• Przekątna dzieli romb na dwa trójkąty równoboczne o równych bokach.

Właściwości przekątnych rombu

Dwie przekątne w rombie mają następujące własności:

• Dwie równe przekątne: Dwie przekątne rombu mają taką samą długość.
• Kąt między dwiema przekątnymi jest kątem prostym: Dwie przekątne rombu przecinają się w środku rombu i tworzą kąt prosty.
• Przekątne są osiami symetrii rombu: Każda przekątna rombu jest osią symetrii rombu, dzielącą romb na dwie symetryczne połowy.
• Przekątne są przekątnymi dwóch trójkątów równobocznych: Każda przekątna rombu jest przekątną dwóch trójkątów równobocznych utworzonych przez równe boki.
• Iloczyn długości dwóch przekątnych jest równy iloczynowi długości dwóch boków rombu: Iloczyn długości dwóch przekątnych jest równy iloczynowi długości dwóch boków rombu. Oznacza to, że jeśli oznaczymy przekątną przez d, a boki przez a i b, to d² = a² + b².

Właściwości te są charakterystyczne dla rombów i są wykorzystywane w wielu zagadnieniach geometrycznych dotyczących rombów.

Wzór na obliczenie przekątnej rombu

Proszę rozważyć poniższy przykład, aby wyprowadzić wzór na obliczenie przekątnej rombu.

Załóżmy, że musimy obliczyć długość przekątnej rombu ABCD o boku a i kącie ABC = 60 stopni -> jaki jest wzór na obliczenie przekątnej rombu w tym przypadku?

Rozwiązanie:

Ponieważ ABCD jest rombem, wszystkie boki są równe a.

Rozważ trójkąt ABC, w którym: AB = BC = a

Jeszcze raz: ABC = 60 stopni => Trójkąt ABC jest trójkątem równobocznym o boku a.

=> AB = AC = BC = a

=> Długość przekątnej rombu wynosi AC = BD = a.

Powyższe rozwiązanie jest jednym z najprostszych i najłatwiejszych do zrozumienia wzorów służących do obliczania przekątnej rombu.

Wzór na obliczenie przekątnej rombu przy znajomości pola i pozostałej przekątnej

Ze wzoru na obliczenie pola rombu:

S = (axb) : 2

Wzór na długość przekątnej wygląda następująco:

a = S x 2 : b

Lub

b = S x 2 : a

Tam:

• S to obszar
• a i b to długości dwóch przekątnych

Wykorzystaj własności geometryczne rombu do obliczenia długości przekątnej bez korzystania z twierdzenia Pitagorasa. Swoiście:

Przekątna rombu jest średnią dwóch wysokości.

Przekątna = pierwiastek kwadratowy z (wysokości długiej + wysokości krótkiej)²

Przekątna rombu stanowi połowę obwodu rombu.

Przekątna = 1/2 x obwód rombu.

Problem z obliczeniem przekątnej rombu

Problem 1: Dany jest romb o polu 360 centymetrów kwadratowych i przekątnej 24 centymetrów. Oblicz długość drugiej przekątnej

Rozwiązanie:

Zgodnie ze wzorem na pole rombu: axb : 2

Mamy drugą przekątną: 360 x 2 : 24 = 30 cm

Odpowiedź: 30cm

Zadanie 2:

Romb ma pole 4dm, długość jednej z przekątnych wynosi 3/5 dm. Oblicz długość drugiej przekątnej. Rozwiązanie:

Długość drugiej przekątnej wynosi:

(4 x 2) : 3/5 =40/3 (średnica)

Lekcja 3: Dwie przekątne rombu mają długości 160 cm i 120 cm. Oblicz wysokość rombu, wiedząc, że stosunek wysokości do długości boku rombu wynosi 24:25.

Rozwiązanie:

Pole rombu wynosi: 160,120:2 = 9 600 (cm2).

Ponieważ stosunek wysokości do długości boku rombu wynosi 24:25, możemy założyć, że wysokość rombu wynosi 24a, a bok rombu wynosi 25a.

Następnie mamy pole rombu: 25a,24a = 9 600 a2 = 16 a = 4 cm.

Wysokość rombu wynosi: 24,4 = 96 (cm).

Wysokość rombu wynosi zatem 96 cm.

Lekcja 4: 

Dany jest romb ABCD o boku długości 12,5 cm, wysokości 6,72 cm, przy czym AC jest mniejszy niż BD. Jakie są długości przekątnych AC i BD?

Nagroda:

Zastosuj wzór, aby obliczyć pole rombu: S = ha = 6,72 x 12,5 = 84cm.
=> 1/2 AC x BD = 84 => 2AC.BD = 336

Niech O będzie przecięciem dwóch przekątnych rombu.

Mamy trójkąt AOB, który jest trójkątem prostokątnym w punkcie O, więc AB2 = OA2 + OB2

W którym OA = 1/2 AC, OB = 1/2 BD

=> 12,52 = 1/4 (AC2 + BD2) <=> 625 = AC2 + BD2

AC2 + BD2 = 625 <=> AC2 + BD2 + 2AC.BD = 625 + 336 <=> (AC + BD)2 = 961 <=> AC + BD = 31 (1)

AC2 + BD2 = 625 <=> AC2 + BD2- AC.BD = 625 -336 <=> (BD - AC)2 = 289 <=> BD - AC = 17 (Zgodnie z problemem BD > AC) (2)

Z (1) i (2) mamy:

BD = 24, AC = 7 cm.

Lekcja 5: 

Romb ABCD ma bok równy 10 jednostkom. Oblicz długość przekątnej rombu.

Rozwiązanie: Długość przekątnej rombu ABCD wynosi:

Przekątna = pierwiastek kwadratowy z 2 (10²) = pierwiastek kwadratowy z 200 = 14,14 jednostek długości.

Zatem długość przekątnej rombu ABCD wynosi 14,14 jednostek długości.

Lekcja 6:

Romb ABCD ma przekątną o długości 12 jednostek. Oblicz obwód rombu.

Rozwiązanie: Ponieważ romb ma cztery równe boki, jego obwód będzie sumą długości czterech boków, czyli:

Obwód = 4 x długość boku = 4 x 6 = 24 jednostki długości.

Zatem obwód rombu ABCD wynosi 24 jednostki długości.