Powierzchnia cylindra: Powierzchnia cylindra, całkowita powierzchnia cylindra

Poznajmy wzór na obliczenie pola powierzchni bocznej, pola całkowitego i wysokości walca, który możemy wykorzystać w nauce i życiu codziennym.

Spis treści

• Jak obliczyć pole powierzchni walca
  • Wzór na obliczenie pola bocznego walca
  • Wzór na obliczenie całkowitej powierzchni walca
• Oblicz wysokość walca
• Wzór na obliczenie promienia podstawy walca
  • 1. Wzór na obliczenie obwodu koła; pole koła 
  • 2. Podstawą jest okrąg wpisany w wielokąt
  • 3. Podstawą jest okrąg opisany na wielokącie.
• Czym jest cylinder okrągły?
• Wzór na obliczenie pola przekroju walca 
• Przykład obliczenia pola powierzchni walca 

Jak obliczyć pole powierzchni walca

Pole walca składa się z pola bocznego i pola całkowitego.

Aby poznać pole boczne i całkowite pole powierzchni walca, możesz wprowadzić wysokość i promień walca do poniższej tabeli.

Wzór na obliczenie pola bocznego walca

Do pola bocznego walca zalicza się wyłącznie pole powierzchni otaczającej cylinder, nie wliczając pola powierzchni dwóch podstaw.

Wzór na obliczenie pola bocznego walca to iloczyn obwodu okręgu podstawowego i wysokości.

Tam: Otoczenie to obszar otaczający. rjest promieniem walca. hjest wysokością, odległością między dwiema podstawami walca.

Przykład: 1

Okrągły walec ma promień podstawy r = 5 cm i wysokość h = 7 cm. Oblicz pole powierzchni bocznej walca pionowego.

Rozwiązanie: Pole powierzchni walca kołowego: Sxq = 2.π.rh = 2π.5.7 = 70π = 219,8 (cm2).

Przykład: 2

Dany jest kwadrat ABCD o boku 2a. Niech O i O' będą odpowiednio środkami boków AB i CD. Obracając ten kwadrat wokół osi OO', otrzymujemy obracający się cylinder. Oblicz pole powierzchni obracającego się cylindra.

Rozwiązanie:

Promień okręgu podstawowego wynosi r= CD= a

Wysokość walca wynosi h= OO'= AD=2a

Zatem powierzchnia boczna walca wynosi Sxq = 2πrh = 2π.a.2a = 4a2π

Wzór na obliczenie całkowitej powierzchni walca

Całkowite pole powierzchni oblicza się jako wielkość całej przestrzeni zajmowanej przez figurę, wliczając w to pole powierzchni bocznej i pole dwóch okrągłych podstaw.

Wzór na obliczenie pola całkowitego walca to pole powierzchni bocznej plus pole dwóch podstaw.

Przykład 1 : Oblicz całkowitą powierzchnię walca o podstawie 3 i wysokości 5.

Rozwiązanie:

Całkowita powierzchnia wynosi Stp = Sxq + 2Sd = 2πr(r+h) = 2π.3(3+5) =48π

Oblicz wysokość walca

Wysokość walca to odległość między dwiema podstawami walca.

Oblicz wysokość walca znając całkowitą powierzchnię i promień podstawy

Na przykład: Dany jest walec o promieniu podstawy R = 8 cm i całkowitej powierzchni 564π cm2. Oblicz wysokość walca.

Nagroda:

Mamy

Oblicz wysokość walca znając pole powierzchni bocznej

=>

Wzór na obliczenie promienia podstawy walca

1. Wzór na obliczenie obwodu koła; pole koła 

Okrąg ma obwód C=2πr

=>

Okrąg o podstawie ma pole S=πr2

=>

Na przykład. Oblicz promień podstawy walca w następujących przypadkach:

A. Obwód okręgu podstawowego wynosi 6π

B. Pole podstawy wynosi 25π

Rozwiązanie:

A. Promień okręgu podstawowego wynosi

B. Promień okręgu podstawowego wynosi

2. Podstawą jest okrąg wpisany w wielokąt

- Wpisany w dowolny trójkąt: gdzie S jest polem trójkąta, a p jest połową obwodu

- Wpisany w trójkąt równoboczny: bok

- Kwadrat wpisany:

Przykład 1 . Dany jest walec wpisany w sześcian o krawędzi a. Oblicz promień tego walca.

Promień walca wynosi:

Przykład 2 . Dany jest prawidłowy graniastosłup ABC.A'B'C', w którym , objętość opisana wokół walca. Oblicz promień tego walca.

Objętość pryzmatu wynosi

Podstawą graniastosłupa prawidłowego jest trójkąt równoboczny, więc => bok

Zatem promień podstawy walca wynosi:

3. Podstawą jest okrąg opisany na wielokącie.

Opisany w dowolnym trójkącie:

Tam:

• a, b, c to długości trzech boków trójkąta
• p jest połową obwodu trójkąta:

Obwód trójkąta prostokątnego: przeciwprostokątna

Obwód trójkąta równobocznego: bok

Obwód kwadratu: bok

Na przykład: 

Oblicz promień podstawy walca opisanego na ostrosłupie prawidłowym S.ABC w następujących przypadkach:

A. ABC jest trójkątem prostokątnym w punkcie A, gdzie AB = a i AC = a√3

B. ABC ma AB= 5; AC= 7; BC=8

Nagroda:

A. Przeciwprostokątna

Ponieważ ABC jest kątem prostym przy A, promień R=0,5.BC=a

B. Połowa obwodu trójkąta ABC wynosi

Czym jest cylinder okrągły?

Walec kołowy to cylinder, który ma dwie równe, okrągłe podstawy, równoległe do siebie.

Cylindry są powszechnie używane w zadaniach geometrycznych, zarówno podstawowych, jak i bardziej złożonych, w których wzór na obliczenie pola powierzchni i objętości walców jest często używany w różny sposób. Jeśli już wiesz, jak obliczyć pole i obwód koła, z łatwością wywnioskujesz wzory na obliczenie objętości, pola bocznego i pola całkowitego walca.

Wzór na obliczenie pola przekroju walca

Przetnij cylinder płaszczyzną (P) przechodzącą przez oś

• Otrzymany przekrój ma kształt prostokąta.

Powierzchnia przekroju poprzecznego: SABCD = BC.CD = 2r.h

Przetnij cylinder płaszczyzną (P) równoległą do osi i w odległości x od niej

Otrzymany przekrój poprzeczny ma kształt prostokąta ABCD, jak pokazano powyżej. Niech H będzie środkiem CD, mamy OH ⊥ CD=> Dlatego powierzchnia przekroju poprzecznego

Przetnij cylinder płaszczyzną (P) nie prostopadłą do osi, ale przetnij wszystkie tworniki cylindra

Powstały przekrój jest okręgiem o środku O' i promieniu O'A'=r Pole przekroju poprzecznego: S= πr2

Przetnij cylinder w płaszczyźnie (P) nie prostopadłej do osi, lecz przetnij wszystkie tworzące walca.

Powstały przekrój jest elipsą (E) z osią małą 2r => a=r Duża oś równa się gdzie jest kątem pomiędzy osią OI a (P) Zatem pole S = π. ab=

Przykład obliczenia pola powierzchni walca

Lekcja 1 :

Pole boczne walca ma podstawę kołową o obwodzie 13 cm i wysokość 3 cm.

Nagroda:

Mamy: obwód koła C = 2R.π = 13cm, h = 3cm

Tak więc powierzchnia boczna walca wynosi:

Sxq = 2πr.h = Ch = 13,3 = 39 (cm²)

Lekcja 2 : Dany jest walec, którego promień podstawy wynosi 6 cm, a wysokość od podstawy do szczytu walca ma grubość 8 cm. Jakie jest pole powierzchni bocznej i pole powierzchni całkowitej walca?

Nagroda

Zgodnie ze wzorem mamy półokrąg podstawy r = 6 cm i wysokość walca h = 8 cm. W związku z tym mamy następujący wzór pozwalający obliczyć pole powierzchni bocznej walca i pole powierzchni całkowitej walca:

Powierzchnia walca = 2 x π xrxh = 2 x π x 6 x 8 = ~301 cm²

Całkowita powierzchnia walca = 2 Π x R x (R + H) = 2 X π x 6 x (6 + 8) = ~ 527 cm²

Lekcja 3 : Walec ma promień podstawy wynoszący 7 cm i pole powierzchni bocznej wynoszące 352 cm2.

Wówczas wysokość walca wynosi:

(A) 3,2 cm; (B) 4,6 cm; (C) 1,8 cm

(średnica) 2,1 cm; (E) Inny wynik

Proszę wybrać właściwy wynik.

Rozwiązanie: Mamy

Zatem odpowiedź E jest prawidłowa.

Lekcja 4 : Wysokość walca jest równa promieniowi okręgu podstawowego. Powierzchnia boczna walca wynosi 314 cm2. Oblicz promień okręgu podstawowego i objętość walca (zaokrągl wynik do dwóch miejsc po przecinku).

• Wzór na obliczenie objętości cylindra

Nagroda:

Powierzchnia boczna walca wynosi 314cm2

Mamy Sxq = 2.π.rh = 314

Gdzie r = h

Tak więc 2πr² = 314 => r² ≈ 50 => r ≈ 7,07 (cm)

Objętość walca: V = π.r2.h = π.r3 ≈ 1109,65 (cm³).

Mamy nadzieję, że powyższy artykuł pomógł Ci przyswoić podstawową i zaawansowaną wiedzę na temat cylindrów oraz dowiedzieć się, jak obliczyć powierzchnię całkowitą i powierzchnię boczną cylindra.